Mach-Zahl

Die Mach-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl aus dem Fachbereich der Strömungsmechanik. Sie findet Anwendung in der Gasdynamik und beschreibt je nach Anwendungsfall das Verhältnis zweier unterschiedlicher Geschwindigkeiten zueinander.

Bei der Betrachtung eines bewegten Körpers in einer gasförmigen Umgebung beschreibt die Mach-Zahl das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit dieses bewegten Körpers zu der theoretischen Schallgeschwindigkeit in dem ihn umgebenden Gas.

Wird eine reine Gasströmung betrachtet, so stellt die Mach-Zahl das Verhältnis von der Strömungsgeschwindigkeit des Gases zu der theoretischen Schallgeschwindigkeit in diesem Gas dar.

Die Mach-Zahl in der Gasdynamik ist dabei analog zur Froude-Zahl in der Hydrodynamik zu verstehen.

Anwendungen für die Mach-Zahl

Charakterisierung von Gasströmungen
Beurteilung von Verdichtungsstößen
Dimensionslose Bezeichnung für die Fluggeschwindigkeit in der Luftfahrt

In reinen Gasströmungen wird anhand der Mach-Zahl beurteilt, ob Kompressibilitätseffekte zu berücksichtigen sind. Wird beispielsweise der Druckverlust in einer gasförmigen Rohrströmung betrachtet, kann anhand der Machzahl entschieden werden, ob die Strömung inkompressibel berechnet werden kann oder nicht.

Grenzwerte für Mach-Zahlen zur Charakterisierung einer Gasströmung

$\text{Ma} < 0,3$ Inkompressible Unterschallströmung

$0,3 < \text{Ma} < 1$ Kompressible Unterschallströmung

$\text{Ma} \approx 1$ Schallnahe Strömung

$1 < \text{Ma} < 5$ Überschallströmung

$5 \leq \text{Ma}$ Hyperschallströmung

Bei der Bewegung von Störquellen in einer gasförmigen Umgebung, charakterisiert die Mach-Zahl auf welche Weise sich die von der Quelle ausgehenden Druckstörungen (Schallwellen), in dem Gas ausbreiten. Es werden vier Bereiche unterschieden:

$\text{Ma} = 0$ : Die Mach-Zahl wird null, wenn die Geschwindigkeit der Störquelle null ist. Hier breiten sich die Schallwellen kugelförmig und von der Quelle ausgehen in alle Richtungen gleichmäßig aus.

$\text{Ma} < 1$ : Die Geschwindigkeit der Störquelle ist kleiner als die Schallgeschwindigkeit. Die Schallwellen breiten sich weiterhin kugelförmig aus, verdichten sich aber in Bewegungsrichtung und verdünnen sich entgegen der Bewegungsrichtung.

$\text{Ma} = 1$ : Die Geschwindigkeit der Störquelle erreicht die Schallgeschwindigkeit. Die Schallwellen überlagern sich am Ursprung ihrer Entstehung und bilden dort einen Drucksprung aus, der als Schallmauer bezeichnet wird. Die kugelförmige Ausbreitung der Schallwellen geschieht entgegen der Bewegungsrichtung der Störquelle.

$\text{Ma} > 1$ : Die Geschwindigkeit der Störquelle ist größer als die Schallgeschwindigkeit. Die Schallwellen breiten sich nur aus Sicht der Bewegungsrichtung „hinter“ der Störquelle aus. Dabei erreichen die Schallwellen den Ort der Störquelle erst, wenn diese ihn schon wieder verlassen hat. Es entsteht der sogenannte Mach‘sche Kegel. Außerhalb dieses geometrischen Kegels, tritt keine Druckstörung auf.

Formelsammlung

Allgemein:

(1) $\begin{equation*} \text{Ma}~= \frac{v}{c} \end{equation*}$

Für ideale Gase:

(2) $\begin{equation*} \text{Ma}~= \frac{v}{\sqrt{\kappa \cdot R_{\text{s}} \cdot T}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} c: \text{Schallgeschwindigkeit } \left[ \si{\meter \per \second} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} R_{\text{s}}: \text{Spezifische Gaskonstante } \left[ \si{\joule \per \kilo\gram \per \kelvin} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} T: \text{Temperatur des Gases } \left[ \si{\celsius} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} v: \text{Str{\"o}mungsgeschwindigkeit } \left[ \si{\meter \per \second} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \kappa : \text{Isentropenexponent des Gases } \left[ - \right] \end{equation*}$

Anleitung

Die Mach-Zahl wird in cal-Q nach den Formeln aus der Formelsammlung berechnet.

Die Berechnung kann wahlweise durch Vorgabe der Geschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit oder durch Auswahl eines Stoffes aus der Datenbank erfolgen.

Bei der Auswahl eines Stoffes aus der Datenbank sind neben der Geschwindigkeit auch Druck und Temperatur des Gases anzugeben, damit die entsprechenden Stoffdaten ermittelt werden können. Zur Verfügung stehen die Stoffe Luft, Kohlendioxid, Methan, R134a, Sauerstoff, Stickstoff und Wasserstoff.

Alle Größen sind in den angegebenen Einheiten einzusetzen.

Quellen

Bohl, Elmendorf: Technische Strömungslehre, Vogel-Fachbuch, 2005

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