Rayleigh-Zahl

Die Rayleigh-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl aus dem Bereich der Strömungsmechanik. Sie beschreibt das Verhältnis von Auftriebskräften zu Zähigkeitskräften innerhalb einer freien (nicht erzwungenen) Strömung und charakterisiert deren Strömungszustand.

Unterschieden werden die Strömungszustände "laminar" und "turbulent". Eine Strömung wird als laminar bezeichnet, wenn sie geordnet und ohne Verwirbelungen verläuft. Dem gegenüber verlaufen turbulente Strömungen ungeordnet und enthalten Verwirbelungen.

Ob eine freie Strömung laminar oder turbulent ist, wird durch das Produkt aus Grashof-Zahl und Prandtl-Zahl charakterisiert. Dieses Produkt wird als Rayleigh-Zahl bezeichnet.

Laminare freie Strömungen sind durch niedrige Rayleigh-Zahlen charakterisiert, während turbulente freie Strömungen hohe Rayleigh-Zahlen aufweisen.

Die Trennung zwischen "niedrigen" und "hohen" Rayleigh-Zahlen erfolgt auf Basis der kritischen Rayleigh-Zahl. Diese ist abhängig von der Strömungsgeometrie und in der Literatur für diverse Strömungsquerschnitte definiert.

Die Rayleigh-Zahl selber ist über die Grashof-Zahl von der Strömungsgeometrie (charakteristische Länge) und sowohl über die Grashof- als auch die Prandtl-Zahl von den Stoffeigenschaften des Fluides abhängig.

Beispiele für kritische Rayleigh-Zahlen:

Vertikale ebene Wand: $\text{Ra}_{\text{krit}} \approx 10^9$

Langer horizontaler Zylinder: $\text{Ra}_{\text{krit}} \approx 10^9$

Beispiele für charakteristische Längen für die Grashof-Zahl:

Senkrechte Platte: Plattenlänge

Langer horizontaler Zylinder: Rohraußendurchmesser

Formelsammlung:

(1) $\begin{equation*} \text{Ra}~= \text{Pr} \cdot \text{Gr} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \text{Ra}~= \frac{g \cdot \beta \cdot \left( T_{\text{W}} - T_{\infty} \right) \cdot L^3}{\nu \cdot a} \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \text{Ra}~= \frac{g \cdot \beta \cdot \left( T_{\text{W}} - T_{\infty} \right) \cdot L^3 \cdot \rho}{\eta \cdot a} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \text{Ra}~= \frac{g \cdot \beta \cdot \left( T_{\text{W}} - T_{\infty} \right) \cdot L^3 \cdot \rho \cdot c_{\text{p}}}{\nu \cdot \lambda} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \text{Ra}~= \frac{g \cdot \beta \cdot \left( T_{\text{W}} - T_{\infty} \right) \cdot L^3 \cdot \rho^2 \cdot c_{\text{p}}}{\eta \cdot \lambda} \end{equation*}$

$\begin{equation*} a: \text{Temperaturleitf{\"a}higkeit } \left[ \SI{1e-6}{\meter\squared \per \second} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} c_{\text{p}}: \text{Isobare spezifische W{\"a}rmekapazit{\"a}t } \left[ \si{\kilo\joule \per \kilo\gram \per \kelvin} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} g: \text{Erdbeschleunigung } \left[ \SI{9,81}{\meter \per {\second \squared}} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} L: \text{Charakteristische L{\"a}nge } \left[ \si{\meter} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} T_{\text{W}}: \text{Wandtemperatur } \left[ \si{\celsius} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} T_{\infty}: \text{Temperatur der ungest{\"o}rten Str{\"o}mung } \left[ \si{\celsius} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \beta : \text{Volumenbezogener thermischer Ausdehnungskoeffizient } \left[ \si{1 \per \kelvin} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \lambda : \text{W{\"a}rmeleitf{\"a}higkeit } \left[ \si{\watt \per \meter \per \kelvin} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \eta : \text{Dynamische Viskosit{\"a}t des Fluids } \left[ \si{\pascal\second} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \nu : \text{Kinematische Viskosit{\"a}t des Fluids } \left[ \si{\meter\squared \per \second} \right] \end{equation*}$

$\begin{equation*} \rho : \text{Dichte des Fluids } \left[ \si{kg \per \meter\cubic} \right] \end{equation*}$

Anleitung

Die Rayleigh-Zahl wird nach den Formeln aus der Formelsammlung berechnet.
Die Berechnung kann wahlweise durch Vorgabe der Stoffdaten oder durch Auswahl eines Stoffes aus der Datenbank erfolgen.
Bei der Berechnung unter Vorgabe der Stoffdaten ist eine der angegeben Formeln mit den entsprechend einzusetzenden Stoffdaten auszuwählen
Bei Auswahl eines Stoffes aus der Datenbank sind Druck und Temperatur anzugeben, damit die entsprechenden Stoffdaten ermittelt werden können. Zur Verfügung stehen die Stoffe Wasser, Luft, Kohlendioxid, Methan, R134a, Sauerstoff, Stickstoff und Wasserstoff.

Die charakteristische Länge bezieht sich auf den Strömungsquerschnitt und ist abhängig von der betrachteten Geometrie zu definieren. Die Stoffdaten beziehen sich auf das strömende Fluid.

Alle Größen sind in den angegebenen Einheiten einzusetzen.

Quellen:

VDI-Gesellschaft Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen: VDI-Wärmeatlas (11. Auflage), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013
Weber, Alt, Muster: Vorlesungen zur Wärmeübertragung, Teil 1: Grundlagen (2.Auflage), Technische Universität Clausthal, Papierflieger-Verlag, 2008

Jetzt kostenlos die Rayleigh-Zahl berechnen!